素数大富豪攻略をぱらぱらと

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十人十色な四つ子素数!

 この記事は、素数大富豪アドベントカレンダー22日目の記事です。

adventar.org

 

昨日は、せきゅーんさんの「MATHPOWER杯2017での戦い5選」でした。

integers.hatenablog.com

 

今日は、いろいろな四つ子素数たちの一面を紹介します!

四つ子素数って?

四つ子素数とは、自然数nにおいて、{n,n+2,n+6,n+8}がすべて素数になるものをいう。

たとえば

n=5 {5,7,11,13}

n=11 {11,13,17,19}

n=101 {101,103,107,109}

などなど。ちなみに、一の位の組が{1,3,7,9}以外になるのはn=5のときだけです。

 

3917拡張四つ子素数

定義

3917拡張四つ子素数とは、自然数nにおいて、{n,n+6,n+8,n+14}がすべて素数になるものとする。

n=5 {5,11,13,19}

n=23 {23,29,31,37}

n=53 {53,59,61,67}

などなど。

ちなみに、

素数の効率のいい覚え方 ver2.0 - 素数大富豪攻略をぱらぱらと

の最後の表の、&でつながった部分が「全」のものになります。

 

また、拡張四つ子素数の一の位が{3,9,1,7}でない組は、n=5の時のみであることは簡単に証明できます。

 

 

並び替え可能四つ子素数

定義

四つ子素数となるn、mにおいて、nの各位の数字を並べ替えたときにmになるとき、n、mをあわせて並び替え可能四つ子素数というものとする。

*1

5桁は

1804Xと8104X

2227Xと7222X

このふたつのみ。

 

6桁は

13546Xと56341X

25786Xと87526X

など、合計12個。

その中に

24760Xと27604Xと40276X

という、3つの四つ子からなる並び替え可能四つ子がありました。*2*3

 

7桁では爆発的に増加し、その中には5項の並べ替え可能四つ子素数がひとつ、4項がいくつかありました。

その中にあった面白い性質をもつ四つ子を紹介します。

 

256番目の四つ子素数165910Xと

652番目の四つ子素数651019Xは

並び替え可能四つ子である。

なんと、素数の部分だけでなく、順番まで並び替えられるとは。見つけたときわくわくがとまりませんでした。*4

双子四つ子素数

定義

双子四つ子素数とは、自然数nにおいて、{n,n+2,n+6,n+8,n+30,n+32,n+36,n+38}がすべて素数になるものとする。

*5

n=1006301 {100630X,100633X}

n=2594951 {259495X,259498X}

n=3929211 {392921X,392924X}

n=9600551 {960055X,960058X}

n=10531061 {1053106X,1053109X}

などなど。

二つの四つ子素数は、双子でも30はなれなきゃいけない運命なんです。

 

五つ子素数 

先日、キグロさんが素数大富豪における六つ子素数の非存在性について書かれていました。

ch.nicovideo.jp

 

ざっくりいうと、四つ子素数は、~X(X=1,3,7,9)の形になりますが、~X(1,3,7,9,11,13)のような六つ子は存在しない、というお話でした。

 

ただ、~X(1,3,7,9,13)の形になる五つ子素数*6は存在します。

 

例を挙げると、以下のようになります。

 

1X ={11,13,17,19,113}

10X

19X

148X

187X

346X

1804X

2101X

2227X

2530X

7222X

8272X

9784X

9913X

 

五つ子素数は、四つ子素数ほど活用はできないように思いますが、今まで覚えた四つ子に+1覚えるだけなので覚えやすい!

 

いかがでしたか。四つ子素数ワールドはまだまだ広がる予感…!

以上、るいあでした!

 

明日の記事は、せきゅーんさんの「信州大学での思い出」です。

たのしみです!

*1:この章では、四つ子素数を~Xと表します。10X ={101,103,107,109}

*2:この3つで1つ分とカウントしました。

*3:以下、n個の四つ子からなる並び替え可能四つ子素数を、n項の並び替え可能四つ子素数といいます。

*4:インテジャーズさんへの掲載をお願いできるレベルでは…?

*5:この章では、四つ子素数を~Xと表します。10X ={101,103,107,109}

*6:決してごつごではない