十人十色な四つ子素数！
この記事は、素数大富豪アドベントカレンダー22日目の記事です。
昨日は、せきゅーんさんの「MATHPOWER杯2017での戦い５選」でした。
今日は、いろいろな四つ子素数たちの一面を紹介します！
四つ子素数って？
四つ子素数とは、自然数ｎにおいて、{n,n+2,n+6,n+8}がすべて素数になるものをいう。
たとえば
n=5 {5,7,11,13}
n=11 {11,13,17,19}
n=101 {101,103,107,109}
などなど。ちなみに、一の位の組が{1,3,7,9}以外になるのはn=5のときだけです。
３９１７拡張四つ子素数
定義
3917拡張四つ子素数とは、自然数ｎにおいて、{n,n+6,n+8,n+14}がすべて素数になるものとする。
例
n=5 {5,11,13,19}
n=23 {23,29,31,37}
n=53 {53,59,61,67}
などなど。
ちなみに、
素数の効率のいい覚え方 ver2.0 - 素数大富豪攻略をぱらぱらと
の最後の表の、＆でつながった部分が「全」のものになります。
また、拡張四つ子素数の一の位が{3,9,1,7}でない組は、n=5の時のみであることは簡単に証明できます。
並び替え可能四つ子素数
定義
四つ子素数となるｎ、ｍにおいて、ｎの各位の数字を並べ替えたときにｍになるとき、ｎ、ｍをあわせて並び替え可能四つ子素数というものとする。
例
注*1
５桁は
１８０４Xと８１０４X
２２２７Xと７２２２X
このふたつのみ。
６桁は
１３５４６Xと５６３４１X
２５７８６Xと８７５２６X
など、合計１２個。
その中に
２４７６０Xと２７６０４Xと４０２７６X
という、３つの四つ子からなる並び替え可能四つ子がありました。*2*3
７桁では爆発的に増加し、その中には５項の並べ替え可能四つ子素数がひとつ、４項がいくつかありました。
その中にあった面白い性質をもつ四つ子を紹介します。
２５６番目の四つ子素数１６５９１０Xと
６５２番目の四つ子素数６５１０１９Xは
並び替え可能四つ子である。
なんと、素数の部分だけでなく、順番まで並び替えられるとは。見つけたときわくわくがとまりませんでした。*4
双子四つ子素数
定義
双子四つ子素数とは、自然数ｎにおいて、{n,n+2,n+6,n+8,n+30,n+32,n+36,n+38}がすべて素数になるものとする。
例
注*5
n=1006301 {100630X,100633X}
n=2594951 {259495X,259498X}
n=3929211 {392921X,392924X}
n=9600551 {960055X,960058X}
n=10531061 {1053106X,1053109X}
などなど。
二つの四つ子素数は、双子でも３０はなれなきゃいけない運命なんです。
五つ子素数
先日、キグロさんが素数大富豪における六つ子素数の非存在性について書かれていました。
ざっくりいうと、四つ子素数は、～X（X＝１,３,７,９）の形になりますが、～X（１,３,７,９,１１,１３）のような六つ子は存在しない、というお話でした。
ただ、～X（１,３,７,９,１３）の形になる五つ子素数*6は存在します。
例を挙げると、以下のようになります。
１X ={11,13,17,19,113}
１０X
１９X
１４８X
１８７X
３４６X
１８０４X
２１０１X
２２２７X
２５３０X
７２２２X
８２７２X
９７８４X
９９１３X
五つ子素数は、四つ子素数ほど活用はできないように思いますが、今まで覚えた四つ子に＋１覚えるだけなので覚えやすい！
いかがでしたか。四つ子素数ワールドはまだまだ広がる予感…！
以上、るいあでした！
明日の記事は、せきゅーんさんの「信州大学での思い出」です。
たのしみです！
