素数大富豪攻略をぱらぱらと

素数大富豪強くなりたい!世界大会優勝したい!そんな皆さん(俺)のための攻略記事です。これを読めば、素数大富豪にハマること間違いなし!(強くなるとは言ってない)当ブログはすべてリンクフリーです。

素数の効率のいい覚え方 ver2.0

このブログは、二世さんのアドベントカレンダー

adventar.org

 の15日目の記事です。

 

昨日の記事は、ふみ川まうりさんの、「数学アレルギーの私が素数大富豪に出会ったらアレルギーが治って生きるのが楽しい話」でした!

fumikawa23.hatenablog.com

 

去年の素数大富豪のアドベントカレンダー

adventar.org

の、鯵坂もっちょさんのブログ「アジマティクス」の記事「なんか効率のいい素数の覚え方ないかな?」。

www.ajimatics.com

 

こちらの記事の中では、以下の図を覚えることによって、素数を効率よく覚える方法が紹介されていました。

**0台 分類   
1  
2  
3  
4 -9  
5  
6  
7 -7  
8  
9 7  
10  
11 3  
12 7  
13 -3  
14 9  
15  
16  
17  
18 1  
19  
20  
21 1  
22 -1  
23  
24 1  
25  
26  
27  
28  
29 3  
30 7  
31 -9  
32  
33  
**0台 分類   
34  
35  
36 7  
37  
38  
39 7  
40  
41 9  
42 1  
43 -7  
44  
45 7  
46 -9  
47 9  
48 7  
49  
50  
51  
52  
53  
54  
55 7  
56  
57  
58 7  
59  
60  
61 -1  
62  
63 1  
64 -9  
65  
66 1  
**0台 分類   
67  
68 3  
69 1  
70  
71 9  
72 7  
73  
74 3  
75  
76  
77 3  
78 7  
79 7  
80 9  
81 1  
82  
83 9  
84  
85 -1  
86 3  
87 7  
88 -9  
89  
90 7  
91  
92 9  
93 7  
94  
95 3  
96 7  
97  
98 3  
99  

 表1

出典 なんか効率のいい素数の覚え方ないかな? - アジマティクス

   from 鯵坂もっちょさん

 

 簡単に説明します。

数字のキーボードを思い浮かべてください。

  

f:id:ruia_p:20171209155628j:plain

 図2

*0台 分類
1
2
3
4 ー9
5
6
7 -7
8
9 7

 表3

表1から一部抜粋

出典:上記

  1の欄を見てください。1は「全」ですから、1、3、7、9すべてが後ろにつく、

つまり11、13、17、19がすべて素数、ということを表しています。

2の欄をみると、「右」ですから、キーボードの右、つまり3、9がついて

23、29が素数になります。

同様に、左、-9(9以外)、・・・となります。

なし
1379   13 79 39 17 37 19
               
1 3 7 9 -1 -3 -7 -9
1 3 7 9 379 179 139 137

 記号に対応する数字一覧(表4)

 

これによって、ただ数字を覚えるよりも効率よく素数を覚えられる、というのがもっちょさんのお話でした。

 

 

さて、ここからが本題です。

表をよく見ると、規則性があります。

 

それは、3ごとの周期で、対応する記号が決まっている、ということです。

そこで、3で割ったあまりを表に追加しました。

*0台 分類 mod3
1 1
2 2
3 3
4 -9 1
5 2
6 3
7 -7 1
8 2
9 7 3

 表5(表3に「mod3」を追加)

0のところは、便宜上3にしました。

16個ある記号のうち、mod3の数字それぞれに現れる記号がきまっています。

 

たとえば、10の位より左が3(mod3)のとき、記号「3」は入りません。なぜなら、必ず3で割れてしまうからです。

 

f:id:ruia_p:20171210151635p:plain

 図6

81、3どちらも3で割れるため、813は3で割れます。*1*2

 

もう一つ例を。10の位より左が2(mod3)のとき、記号「左」は入りません。

左は、1と7が入りますが、どちらも3で割ると1余ります。

10の位より左の2と、1の位の1を足すと3になり、あわせて3で割れてしまいます。*3

 

そのため、次の表が定まります。

mod3 1 2 3
記号      
× ×
なし
× ×
× ×
×
×
× ×
× ×
1 ×
3 ×
7 ×
9 ×
-1 × ×
-3 × ×
-7 × ×
-9 × ×

表7

 

この表からわかるように、2と3に、どちらにも当てはまるものは「なし」しかありません。ということは、二つの記号を、あわせて一つの記号にできます。

 

例を挙げて説明します。

*0台 分類 mod3
1 1
2 2
3 3

表8(表5から一部抜粋)

 

20台の記号は「右」{3,9}、30台の記号は「左」{1,7}です。

これをまとめて、一つの記号「全」{1,3,7,9}と表すことができます。

 

この操作を表1にすると

**台 分類 **台 分類 **台 分類
1 34 67
2&3 35&36 -1 68&69
4 -9 37 70
3&4 38&39 -1 71&72
7 -7 40 73
8&9 -1 41&42 74&75 -9
10 43 -7 76
11&12 44&45 -1 77&78
13 -3 46 -9 79 7
14&15 -3 47&48 80&81
16 49 82
17&18 -7 50&51 83&84 9
19 52 85 -1
20&21 1 53&54 86&87
22 -1 55 7 88 -9
23&24 -7 56&57 89&90 7
25 58 7 91
26&27 59&60 92&93
28 61 -1 94
29&30 62&63 1 95&96
31 -9 64 -9 97
32&33 65&66 -9 98&99 -9

表9

 

こうなり、行数がもとの\frac{2}{3}になりました。

2&3の記号を2と3に分解するには、2の時は3と9、3の時は1と3に注目します。たとえば、「/」は{3,7}なので、2は「3」、3は「7」になります。

 

66個の記号を覚えるだけで、1000以下の素数を覚えたことになる!こんなにお得なことはないですね。皆さんも是非おぼえてみては!

 

明日は、みうらさんの記事です!楽しみですね!

以上、るいあでした!

 

この記事を作成するに当たって、鯵坂もっちょさんの記事を参考にし、また表の引用も快諾していただきました。ありがとうございます。 

*1:81を3で割ったあまりと、810を3で割ったあまりは同じ

*2:また、ある数を3で割った余りと、その10倍を3で割った余りは等しい

*3:それぞれの位を足すと3の倍数のとき、もとの数は3の倍数。たとえば、987は、9+8+7=24、24は3の倍数だから987は3の倍数